π是无限不循环小数，那么我以半径为1画个圆，圆的周长理论上说可以确定吗？

2024-11-30 11:10:01 浏览：1

π是无限不循环小数，那么我以半径为1画个圆，圆的周长理论上说可以确定吗？

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网友解答：

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　　看了下其他人的回答，感觉我和这个题主大概更有共性，就在于

如何理解无限不循环，

任何

有理数总可以表示成两个整数之比

，看到整数就心安了，不能表示成两整数之比的数字感觉就很怪异。而且在思维上

不自觉的就将无限不循环理解为不确定

。

　由于我们已知π是无限不循环小数，那么就像题主所问，以半径为1（应该是直径为1，因为圆周长是2πR）画个圆，圆的周长将是在度量它的时候

无法穷尽的，注意是无法穷尽，但不是无法确定

，差别就在这微妙的地方。我们当然可以明确的说，该圆的周长一定小于3.2 但大于3.1，它的长度一定在这个范围内，而古人也很早就将圆周率确定在3.14了，即一定小于3.15。假设我们真的画出了这么一个理想的圆，那么随着我们的测量手段的越来越精确，那么我们就能将它的真实长度量得越来越准。而中国数学家祖冲之正是利用割圆术，在一个巨大无比的圆中做出了

正12288边形

，得圆周率=3.14159267之间（修正），这个精度保持了一千年才被打破。

不过说到无理数，不妨让我们看看历史上第一个无理数的诞生。

边长为1的正方形，其对角线长度是无理数

圆的周长是很难直接测量的，因此历史上在数学求解圆周率的方法出现之前，都是用如割圆术这样的办法去逼近圆的周长。但如果只是想讨论无理数这种无限不循环的特色带给人的迷惑，不如用一个看起来相当简单的东西来代替π，比如边长为1的正方形，其对角线的长度等于多少？这个对角线就是一个短的直线段，看起来是很好测量，不需要搞什么花招，

但从理论上我们知道，不管你测出的数是多少，都不是绝对精确的！

因为，这个对角线的值根号2，它是一个无理数。

而当年证明这个对角线的长度（有兴趣的读者不妨自己证明一下，为何该线的长度是无理数），不能表达为任意两个整数之比的人，被杀害了，因为当时的人不能接受这么诡异的数存在，所以今日的我们觉得无理数很诡异，其实也很平常，因为古人，那些曾经专心研究数字秘密的人同样觉得这是一个人类感觉中的

“悖论”。为了抹平这种感觉，他们甚至不惜杀害发现者，然后装作不知道有这样一类奇怪的数字。若干年后，达芬奇将这类数字命名为无理数，以纪念它的发现者——希帕索斯（毕达哥拉斯的学生）。

今天我们知道的许多重要的常数都是无理数，这表明无理数是大自然的重要特征。比如：π（圆周率）、e（自然对数）.

图示：希帕索斯雕像

最后，让我用欧拉恒等式结束，这是一个不可思议的等式。

喔，再补充一下。

当我们闭上眼睛，随手在数轴上指定一个点，那么它和原点之间的距离，几乎总是一个无理数！

　　　因为，对于由有理数和无理数构成的实数集合而言，其中无理数的个数远远超过有理数的个数，不错，它们都无限多，但无限和无限之间在某些情况下依然是可以比较谁更多，而按照今日我们的理解，在数轴上有理数非常稀少，而无理数则非常稠密，所以，你随手指一个位置，那该点离原点的距离，几乎总是（甚至必然是）一个无理数。当我们了解到这个性质之后，大概会对无理数有所释怀或者感到世界崩塌了，嗯，随你。

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网友解答：

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问题很奇怪，应该是精确值和近似值的理解有问题吧。

π就是直径为1的圆的周长，这是一个确定的数，在数轴上对应着一个唯一的点。它是精确的。

数字3.14159…是π这个数的近似值。事实上，即使长度是的线段，也无法做到绝对精确。所以自古就有基准一说。

这个问题，其实算是一种基准问题吧。根据需要，可以确定精度。例如，需要精确到万分之一或者更高。那么3.14159就是半径为1的圆的周长。这个精度，在日常里，已经足够高了。

另外，还是看看基准吧，例如，市电220V，就真的是220这个数字？所以在物理学上，单位，基准就很重要了。至于提问的问题，猜想提问者不是数学物理两科没学好，就纯粹是为了流量。

补充点，竟然可以修改！

这个问题可以看成π的精度，测量精度的函数。测量的数值随着这两个的精度变化而变化。同时，取得有效数字，还得是大量统计的结果。

这个问题的实质在于，把数学上的具体数和实际测量的精度混在一起了。圆周率是一个具体的数，它可以表示成周边于直径的比。它是确定的。但它又是个无理数，我们只能在精度允许的范围内，对π取个近似值。

对于测量，限制于工具和观测手段，也只能测量出一个近似值。但这不是周长不可知的理由。周长的精确值就是πd，我们测量的值，如果大量统计，会稳定在πd这个数的附近。

最后，感谢诸位的指正。就算抛砖引玉了。手机打字，出错难免。平时让写东西都没这么积极过…准备玩玩Linux去了。

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网友解答：

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答：当然是可以确定的，但这并不是一个容易理解的概念！

尤其是对无理数和有理数的理解上，很多人认为“无理数无限不循环，所以无理数是无法确定的数”，这本身就是一个错误理解！

比如：我们假设圆的直径为1（题目说的是半径），那么圆的周长，正好就是圆周率π！

把圆周率π放到数轴上，就是一个确定的数，在数轴上有唯一确定的点与之对应，本质上和其他点（包括整数）没有特别之处，数轴上的点组成的集合是完备且有序的，所以圆周率π自然就是确定的！

然后你把数轴上（0，π]的线段绕成一个圆，那么圆的周长自然也是确定，当然这是理论上！

对这个问题的讨论，实质上就是在讨论“无穷收敛级数”，圆周率可以表示成很多形式的收敛级数！

一个数只要是收敛的，那么就是确定的，对于这个问题，深刻理解微积分的人，理解起来并不会遇到困难，就是一个“常识”而已！

另外，实数集合可以分为有理数和无理数，其中无理数属于不可数集合，有理数属于可数集合。

说明在某种层面上，无理数要远远多余有理数，虽然他们都是无穷个，但是在超穷数理论中，无穷也是有等级的。

好啦！我的答案就到这里，喜欢我们答案的读者朋友，记得点击关注我们——艾伯史密斯！

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网友解答：

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从物理的角度来看，无论你怎么画圆，画得多么完美，它的精度都是有限的。

不要从确定或不确定的角度来理解圆周率的无理性，不妨认为完美的圆其实不存在。

比如我们日常如果以一厘米为半径，用铅笔画一个正六十四边形的话，这其实看起来与一个圆并没有什么区别了。而圆的外切正六十四边形或内接正六十四边形的周长，与圆的直径的比值显然近似于圆周率。这也是为什么古代会采用“割圆术”，也即用圆内接正多边形的面积来替代理想的圆，用以计算圆周率。

魏晋时期的数学家刘徽算了正3072边形，求得圆周率在3.1415与3.1416之间。理论上，按这种方法，边数越多圆周率精度越高。可见圆周率其实是一个极限过程。

而世界上并不实际存在一个理想的圆，因为它的含义其实等同于“正无穷多边形”。因而在应用上任意一个实际画出来的圆其实都可以等价于某一正多边形，视精度需要，它的周长与直径的实际比例都将会是一个位数有限的圆周率。

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网友解答：

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你對無理數的理解有錯誤。無理數是確定的。每一個無理數在數軸上都有自己確定的並且是唯一的位置。π是無理數，它在數軸上有自己唯一確定的位置。以半徑為1畫圓，圓的周長無論從理論上還是實際上都是確定的。沒有任何疑義。可以通過畫圖找到π的位置。半徑為1的圓是單位圓。在單位圓上取一點C，然後把單位圓放在數軸上，使C 點與數軸上的原點重合，即單位圓與數軸相切，C 為切點。現在，讓單位圓沿著數軸滾動。當C點再次成為數軸和單位圓的切點時，C點的位置就是2π 。由此，可以找到π，3π, 4π ，……

無理數是無限不循環小數。這使很多人認為它不確定，不準確。這是錯誤觀念。以1為邊長，畫一個正方形。此時正方形的對角線的長度就是無理數。它是完全確定的。

這種錯誤觀念的產生，可能源於對無公度線段的理解。要度量無公度線段，就要用到輾轉相截的方法。既然是無公度，那麽輾轉相截就永遠有剩餘，永遠不會結束。於是出現了無限不循環小數。但這並不意味著無理數不確定。基本概念要搞清!

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网友解答：

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别说你画圆，你就是在纸上用直尺画一条直线，这条直线我敢肯定的说它的长度就是无理数，因为两个再小的有理数之间，就有无数个无理数，所以你画的直线长度是无理数的概率比是有理数的概率大得多，是有理数的概率几乎为零，是无理数的概率几乎为1。

所以，你画直线尚且如此，何况画一个圆，周长肯定是无理数，这有什么好奇怪的？

好好学习，天夭向上！

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网友解答：

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这个问题让我想起来一个故事，龟兔赛跑。假设兔子每秒10米，乌龟每秒1米。乌龟先跑10秒。10秒后，兔子出发，兔子跑了10米花了1秒，乌龟这个时候又跑了1秒，长度1米。兔子跑这1米花费0.1秒。乌龟0.1秒跑了0.1米，兔子跑0.1米花了0.01秒，照这样循环下去，兔子不就一直追不上乌龟了？然而现实世界呢？无限不循环小数也好，无限循环小数也罢，这都是一个确定的值。13无法用纯数字0.33333......表达出来但不代表它无穷大，但它也是确定值。

π在数学上也属于一个确定值，虽然无法表述为纯数字，但是也是确定的。

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网友解答：

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不光是π，正方体面积也是个约数。

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网友解答：

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当然确定

随便你以任何半径画，圆完成后其周长客观确定。

π无限不循环那是我们的算术体系导致，10进制不行，换成3进制呢？对吧。

数不尽不代表客观不确定。