如何通俗的解释泰勒公式？
如何通俗的解释泰勒公式？
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网友解答：
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泰勒公式是一个函数在一点处的多项式形式的展开式，其系数可以通过求导得到，比较适用于非周期的函数。其好处是展开式是多项式，形式比较简单。
周期函数则更适合于傅立叶级数展开。
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网友解答：
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（关于泰勒公式小石头这里有两钟不同的解释与大家分享！）
我们知道 √2 作为第一个被发现的无理数， 是不能用 有理分数精确表示的，但是我们可以用 有理分数 来无限逼近：
这就是，所谓的无限（不循环）小数：
这种无限逼近的思想就是后来鼎鼎大名的极限，其在数学中由来已久，比如：用割圆术求π值，而且生活中也经常被大家使用，例如：
将金属物体表明抛光：先用粗颗粒的砂纸打磨，然后用中颗粒砂纸，然是细颗粒，然后是颗粒更细的研磨膏，然后是更更细的，... 这个过程一直进行下去，我们就可以得到越来越光亮的金属表面；称取一斤盐：根据经验先往秤盘里加一斤盐左右的盐，发现多了取出来一些、发现少了再加一些，...这个过程一直进行下去，我们就可以得到越来越接近一斤的盐；对于给定的函数 f(x) ，我们也可以用一个函数的序列 f₀(x), f₁(x), f₂(x), ... 来无限的逼近它，即，
f(x) = f₀(x) + f₁(x) + f₂(x) + ⋯
接下来，我们需要确定 这个序列！
首先，观察 √2 无限逼近形式 (1)，我们可这样理解：
从 原点 0 出发 ，沿着坐标轴方向，
先用 步距是 1/10⁰ = 1 的步伐 走 1 步；
再用 步距是 1/10¹ = 0.1 的步伐 走 4 步；
再用 步距是 1/10² = 0.01 的步伐 走 1 步；
....
再用 步距是 1/10ⁿ 的步伐 走 a_n 步；
....
可见，这里的关键是 越来越小的 步距序列：
1/10⁰ > 1/10¹ > 1/10² > ⋯ > 1/10ⁿ > ⋯
所以，我们要可以逼近 f(x) 就是首先要找到 一个 越来越小的 函数序列。
我们先降低要求，不对 整个 f(x) 逼近，只逼近 x = 0 附近的 f(x) 部分，这时我们发现，幂函数 序列：
x⁰ , x¹, x² , x³, ..., xⁿ, ...
在 x = 0 附近 (-1, 1) 是满足 （绝对值）越来越小的 要求的。
于是，仿照 √2 ，令，
则有，
这称为幂级数，最后，要做的事情就是确定幂级数的系数了。
首先，将 x = 0 带入 式(2)，立即得到，a₀ = f(0) = f(0)/0!；
然后，我们对 式(2) 两边求导，有：
再将 x = 0 带入 式(2.1)，得到，a₁ = f'(0) = f'(0)/1!；
然后，我们对 式(2.1) 两边求导，有：
再将 x = 0 带入 式(2.2)，得到，a₁ = f''(0)/2 = f''(0)/2!；
然后，我们对 式(2.2) 两边求导，有：
再将 x = 0 带入 式(2.3)，得到，a₂ = f'''(0)/3⋅2 = f'''(0)/3!；
...
然后，我们对 式(2.n-1) 两边求导，有：
再将 x = 0 带入 式(2.3)，得到，a_n = f⁽ⁿ⁾(0)/n⋅(n-1)⋅(n-2)⋯2 = f⁽ⁿ⁾(0)/n!；
...
这样，我们就通过递归的方式，逐一确定了系数，并且最终得到了：
这称为 迈克劳林公式。
利用 迈克劳林公式，指数函数 f(x) = eˣ 的 幂级数展开式为：
其，逼近情况如下图：
我们可以看到，随着幂级数项数的增加，在 x = 0 附近的，蓝色的 幂级数 越来越逼近 绿色 的指数函数。同时，我们还发现，在 距离 x = 0 很远的地方，幂级数项数少的时候，逼近情况并不好，这是 迈克劳林公式的一个局限！
迈克劳林公式的另外一个问题是，有些函数的 导数 在 x = 0 处 没有意义，例如：函数 √x 的 导数是 1/2 √x。
为了弥补这两个缺陷，我们考虑 将 逼近中心，从 x = 0 移动到 任意 x = a，这时，我们每个函数项为：
然后，用与上面的一样的方法（只不过，每次带入 x = a），可以求得系数为：
最后，得到：
这就是 泰勒公式。
利用 泰勒公式 就可以 得到 √x 在 x = 1 处展开式了：
代入 x=2 就可以得到 √2 的另外一种逼近：
综上，我们可以得出 小结论1：
泰勒公式就是 在 x = a 点附近 利用幂函数序列 (x - a)⁰, (x - a)¹, (x - a)², (x - a)³, ... 来逼近 函数 f(x)。
由《平面解析几何》知，平面上的点和二维向量一一对应，所有这些二维向量组成一个二维向量空间，记为 R² ，在这些二惟向量中， 单位向量 ε₁ = (1, 0)，ε₂ = (0, 1) 分别指向 X 轴 和 Y 轴 的正方向。
对于 R² 中任意一个 向量 α = (a₁, a₂)，都有：
即，
这说明 任意一个 向量 α 都可以用 ε₁, ε₂ 来表示，我们称 ε₁, ε₂ 为向量空间 R² 的一组基，称这种表式为 线性表示。
基 ε₁, ε₂ 和 坐标轴 X, Y 对应，线性表示的系数 a₁, a₂ 就是 α 的坐标分量， (a₁, a₂) 就是 α 在 ε₁, ε₂ 对应 坐标系 XY 中的 坐标。
类似地，以上模式，对于任意 n 维空间 Rⁿ 同样适用。我们 只需 令 Rⁿ 的 基 为：
ε₁ = (1, 0, ..., 0)，ε₂ = (0, 1, 0, ..., 0), ..., ε_n = (0, 0, ..., 1)
则， Rⁿ 中 任意 n维向量 α ，都可以被线性表示为：
其中，系数 (a₁, a₂, ..., a_n) 为 α 在 ε₁, ε₂, ..., ε_n 对应坐标系中的 坐标。
不仅如此，我们还可以将有限维向量 α = (a₁, a₂, ..., a_n) 升级为无限维 α = (a₁, a₂, ...) ，无限维向量也就是序列，记为 α = {a₁, a₂, ...}，将全体序列记为 l。定义 无限个元素的基为：
ε₁ = {1, 0, ...}， ε₂ = {0, 1, 0, ...}, ...
则， l 中 任意序列 α = {a₁, a₂, ...} ，都可以被线性表示为：
其中，系数 (a₁, a₂, ...) 为 α 在 ε₁, ε₂, ... 对应无限坐标系中的 坐标。
序列，α = {a₁, a₂, ...}，其实就是 正整数 Z₊ 到 实数 R 的映射，α: Z₊ → R，其中 Z₊ 中的 正整数 作为 序列下标，任意给定 一个 下标 i ∈ Z₊ 都可以通过 α 得到，序列的第 i 个 数字
考虑将 映射 α 的定义域，由 正整数 Z₊ 变为 实数 R，这样 映射 α 就变成了 我们熟悉的 函数 f: R → R，我们将 区间 [a - b, a + b] ⊂ R 内 满足 一定条件 的全体 函数 组成 函数空间， 记为 L²[a - b, a + b]。定义 无限个元素的基为：
ε₀ = (x-a)⁰, ε₁ = (x-a)¹, ε₂ = (x-a)², e₃ = (x-a)³， ...
则，函数空间 L²[a - b, a + b] 中 任意 函数 f(x) 都可以 用 这一组基 来线性表示：
这就是 泰勒公式。
这个一定条件指的是：f(x) 在 区间 [a - b, a + b] 内 2 次可 积分，即，
存在。（更准确的定义 必须使用测度论，这里就不引入了！）
当 a = 0， b = 1 时，空间 L²[-1, 1] 内 任意 函数 f(x) 都可以被 幂函数 基 x⁰, x¹, x², x³, ... 线性表示为：
这就是 泰勒公式的特殊形式 迈克劳林公式。
注意：前面的 指数函数 f(x) = eˣ 满足 条件2，所以属于 L²[-1, 1] 于是可以被 迈克劳林公式 表示；而 函数 f(x) = √x，在 [-1, 0) 没有定义 所以 不属于 L²[-1, 1] ，但是 它属于 L²[0, 2]，所以才有前面的 泰勒公式 展开。
综上，我们可以得出 小结论2：
泰勒公式，
中的 幂函数 (x-a)⁰, (x-a)¹, (x-a)², (x-a)³，... 其实 是 无限维 函数空间 L²[a - b, a + b] 的一组基，构成 L²[a - b, a + b] 的一个无限坐标系，系数 (a₁, a₂, ... ) ，f(x) 在 这个坐标系中的 坐标。
（所谓通俗解释，就是非常个人化的理解，并不是非常严谨，以上仅仅是小石头的理解方式，写在这里起到抛砖引玉的作用，相信头条的各位老师会有更精彩的回答！）
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网友解答：
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如何通俗理解泰勒公式呢？
首先我给你一个很长的泰勒公式：
你说道，我看不懂。这个公式有什么用呢？
于是我们随便把一个函数,比如e^x用泰勒公式改写，原来e^x居然能展开成幂函数相加的形式！
你说道，我还是不明白，还是不够直观。
于是，我们画出了y=e^x的图像：
y=e^x的图像
当x拟合到5次方时，已经和e^x基本重合了，如果一直加下去，结果可想而知：
再举个例子：
现在我们来做实验：
继续增大拟合项：
你看，它又跟进了更多的sinx
现在，你再来看它
是不是算初识了呢？
为什么需要凑够300字才能声明原创，那我就再举个例子吧：
比如我们的著名函数：
你突然想问，ln2等于多少？如果你手头没有计算器，怎么办呢？当然是把x=2带进上面的等式里了，不过，你要知道：就连你的计算器其实也是按照这个泰勒展开公式来算ln2的，没想到吧？
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网友解答：
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公式我就不粘了。直接给你说作用。如果你的数学卷子上给你出一道sin(0.05)等于多少，cos(0.1)等于多少，ln(1.02)这种题，还不让你用计算器，只能手算，那么你能算出来吗？这个时候泰勒公式就发挥它的作用了。
泰勒公式的作用，一句话说就是，把不使用加减乘除的初等函数（诸如三角函数、反三角函数、对数函数，等等）化为使用加减乘除计算的函数，这种函数的形式是高次无穷多项式。
等价无穷小其实就是泰勒公式的前一项或者两项、三项。
比如，x趋于0时，sinx等价于x，因此sin(0.05)约等于0.05。
x趋于0时，cos(x)等价于1-x²/2，因此，cos(0.1)约等于1-0.1²/2=0.995
x趋于0，ln(x+1)等价于x，因此，ln(1.02)=ln(1+0.02)约等于0.02。
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网友解答：
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泰勒公式的本质：用幂函数去近似任何一个函数。
泰勒公式
公式的左端就是任意一个函数，蓝色部分起始都是数值，黄色部分是（x-x0）的幂函数。
x0是近似代替的出发点。
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