数学公式该理解着记还是该死记硬背，有些公式是不是该死记硬背？

2024-11-04 22:20:01 浏览：1

数学公式该理解着记还是该死记硬背，有些公式是不是该死记硬背？

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网友解答：

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任何信息都不能死记硬背，尤其是数学公式，它作为一种特殊信息，仅仅是死记硬背，即使记住了也没有多大价值，就如同高考时给你所有公式又有什么实际意义呢。因为，所有数学公式考查的是应用。重在考查逆用，变形用，灵活用！记忆数学公式着重三个方面。一是公式的各个变量的含义，二是变量的结构特征，三是公式的来龙去脉各种变形。

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网友解答：

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数学公式的记忆是数学学习中很重要的一块内容，解数学题的过程，就是利用学过的公式或定理，经过推导与计算得到想要证明的结果或计算的数值，因此公式记忆是数学学习的第一步，也是最基础的一步。

那么面对纷繁复杂的公式，是选择理解记忆还是死记硬背？这个问题的答案不是绝对的，得分情况来讨论。按照公式的类型，分为三种情况。

1.死记硬背为主的公式

首先强调一点，我这里说是死记硬背为主，而不是说死记硬背。意思就是说公式本身还是需要理解的，但是理解的成分较小，而更多的成分则是死记硬背。

这类公式有两个特点：

第一、它们在整个数学体系中，或更通俗的讲，在解题过程中处于比较基础或靠前的位置。

我们开头说过，数学解题的一般步骤就是先已知公式和定理，然后利用这些公式和定理进行推导或计算。但是在推导和计算的过程中，不同的公式或定理出现的位置往往不一样。有些公式或定理是你在最开始做基础的运算和推导时就用得到，而有些公式和定理则是在做了好几步之后才用得到。

做一个通俗的比喻，解数学题或做证明题就好比多米诺骨牌，已知条件是第一张骨牌，最终结果是第最后一张骨牌，中间隔了很多张骨牌，每一张骨牌就相当于一个数学结论。而一张骨牌的倒下引起另外一张骨牌的倒下，用的就是已知的公式或定理。解题的过程实际上就相当于寻找中间的骨牌，以及骨牌与骨牌之间倒下所使用的公式的过程。那么在这一长串的骨牌中，有的位置靠前，有的位置靠后。

死记硬背为主的公式主要指的就是这些位置靠前的公式。因为它们的作用就是作为基础推导出更难的结论来，而不是根据其它的什么公式来推导出这些公式来。所以这些公式必须是要牢牢记住的。老师常说学数学要把基础打扎实，那么把基础打扎实又是什么意思呢？最直白的说法就是把公式背熟。

第二、它们的推导或证明过程比较简单，没有蕴含着什么深刻的、有价值的思想。

我们知道，任何一个数学公式和数学定理都是需要经过证明的。老师在讲课的过程中，往往也会先讲这些公式和定理的证明。有的公式和定理的证明过程思路浅显，步骤简单，操作机械，如同流水线一般，没有运用复杂的技巧，也没有使用深刻的数学思想；而另外一些公式或定理，证明过程中，或构造函数，或数形结合，或变量代换，运用各种技巧把一个抽象的过程以图景的形式呈现出来。

而前者就属于以死记硬背为主的，因为它本身的证明过程不包含什么有价值的东西，所以就算理解它也没有什么太大的用途。何况它里面都是机械地操作，也没有太多需要理解的部分，那这时就直接死记硬背好了。

我来就小学阶段，中学阶段和大学阶段举三个例子。

小学阶段的例子

最明显的例子就是把某些小朋友折磨到死去活来的九九乘法表。

九九乘法表可以说是非常符合上面两个特点。首先，它是整个数学乘法运算的基础，我们在做任何乘法计算时都需要使用九九乘法表。其次，九九乘法表中每个公式都是通过机械的计算算出来的，甚至一个一个数也能数出最终答案来，因此它没有什么高深的数学思想在里面。所以我们就没有必要去理解什么，只需要死记硬背就可以了。

九九乘法表应该说是数学计算的基本功之一，如果这个基本功打不扎实，学起前面的内容来会很困难。我们经常说中国学生的数学基础特别好，首先指的就是这些公式背的特别熟练。记得前段时间英国前首相卡梅伦还因为不会背九九乘法表遭到过记者的嘲讽。

中学阶段的例子

中学阶段这样的公式也不少，我举一个典型的例子，就是三角函数的和差角公式：

数学课本上给出了这几个公式的证明，是利用的单位圆的方法，过程比较复杂。

这一组公式就属于死记硬背为主的公式。第一，这几个公式的证明过程非常复杂，而且证明过程所使用的方法，对做其他题目并没有借鉴意义，同时证明过程与最后的结果之间又没有什么很直观的联系，因此理解和记忆其证明过程是没有太大意义的。第二，这几个公式我们一般是用来以它为基础证明一些更复杂的恒等式或解一些更复杂的题目，而不会直接问你这几个公式是怎么来的，因此只要把结果背过就可以了。

大学阶段的例子

大学里面最典型的以死记硬背为主的数学公式，就是求导公式和积分公式。学过高等数学的同学可以回忆一下自己当初是怎么记这些公式的，相信绝大多数人的回答就是死记硬背。是的，那一大堆求导公式和积分公式的确不需要知道是怎么来的，我们只需要会利用这些基本的公式来求更复杂的导数和积分就足够了，而我们也只会碰到这种题目。

这一些求导公式的由来估计很多人都说不出来，因为我们老师可能上课从来没有讲过，而课本上也几乎没有出现过，这就说明大家都认为它是死记硬背的，而的确这些求导公式的证明过程无非就是利用了导数的公式计算一个极限而已，没有包含深刻的思想方法在里面，所以的确无需去理解记忆。

而对于积分公式就更简单了，只需要把求导公式反过来即可，也没有什么太深刻的东西需要理解的。

2.理解记忆为主的公式

这类公式应该是比较受大家欢迎的一类公式，当然同样道理，并不排除它里面也有需要有死记硬背的成分在。

这类公式与上面的一类公式相反，因此它的特点也是相反的。

第一、在整个数学体系中处于比较深入和靠后的位置。

这类公式或定理就属于比较深入的定理了，它不像1+1=2或九九乘法表那种基础的东西，而是描绘了一个较为深刻的结论，这种结论不是那种一眼就能看出来的，而是需要理解和想象并加以推导才能得到的结论。同时在做题时，它们也出现在比较靠后的位置。

第二、它们的证明过程，包含了比较重要的技巧，使用了一些比较常用的方法，或者运用了一些比较深刻的思想。

这类公式和定理通常都是比较重要的，很多情况下还是以人名来命名的。这类公式和定理的出现，往往是大数学家们对某个数学问题进行深入思考的结果。它们本身就蕴含着比较有价值的思想，掌握这种思想对解其他数学题或理解其它数学理论是很有帮助的。同时更为重要的一点是，它们的证明过程与最终结果，有着深刻的联系，能在你的头脑中形成一个清晰的图像，所以理解起来很容易，因此通过理解来进行记忆会更加快捷，同样我们还是来举三个例子。

小学阶段的例子

1+1=2，3×5=15，这些都是最基础的数学公式，在这些数学公式上我们总结出了关于运算的一些运算律，比如乘法交换律。

回想一下我们是怎么证明3×4=4×3呢，在小学课堂上，老师通常会展示下面一张图片：

一样是一堆手表，如果是横着看，一共有三3行，每行有4个，这样一来就是4×3。如果数竖过来看，一共有4列，每一列有三个，这样一来就是3×4。这个图非常清晰且直观的告诉我们3×4=4×3。整个过程就如同画面一样在我们头脑中展现出来，因此它有着非常直观的理解。同样这种利用图形来展示个数的方法，对于小学生来讲也是一种很重要的思维方法。所以对于这个公式我们就需要理解去记忆。

中学阶段的例子

这里我想举的例子就是三角函数的诱导公式。

三角函数的诱导公式非常多，严格算下来有数十个之多，我举其中几个比较有代表性的：

这么多公式放在一起，初学者肯定立马就崩溃了，但是大家回想一下，其实基于这些公式并不很困难，大部分同学都能轻松的记住。除了有一个王牌口诀“奇变偶不变，符号看象限”以外，一个更重要的原因是这几个公式都有非常清晰和直观的几何解释，我们只要能把它们的几何解释理解清楚，再去背公式就非常容易了。

那我们是如何利用几何解释来记忆诱导公式的呢？首先我们要知道三角函数如何定义的，我们是利用单位圆来定义的：

一个角的sin值就是在单位圆中，以x轴正半轴为始边，这个角所对应的单位圆上的点的纵坐标，同样cos值就是横坐标。理解了这个定义，再来记忆诱导公式就比较容易了。比如对于sin和cos来说，角度增加180度，那么sin值和cos值都要变成相反数，这是为什么呢？结合单位元可以很清楚的观察到这一点：

角度增加180度之后，整个箭头的方向就完全反过来，因此横坐标与纵坐标都变成了相反数，相应地，sin值和cos值也就都变成了相反数。

上面只是举了一个例子，对于其它的诱导公式都可以有相应的图形来对应，所以你理解了图形的话，公式再多也能当场反应出来，这就是通过理解来记忆公式的巨大威力。

大学阶段的例子

这里我想举的例子就是大名鼎鼎的拉格朗日中值定理（Lagrange mean value theorem）。我们先来回顾一下这个定理的内容：

这个定理所对应的公式相对来讲比较复杂，机械记忆的话不太容易，并且很容易记错，比如很多人就忘了，左边式子里那个小撇儿。同样地，如果我们能够理解它的几何解释的话，再记忆这个公式就很简单了。它的几何解释如下：

对于一个满足条件的函数，以及两个点a和b，我们先用一条直线连接这两个点。在这两个点之间函数上有无数多个点，每一个点都有自己的导数，意思就是每一个点都可以做出一条函数曲线的切线来。那么这无数条切线，有的平缓，有的陡峭，中间肯定就存在着某一条切线与a、b两点的连线是平行的。

理解了这个几何图形之后，我们再把它转化成数学语言，我们知道斜率的公式就是两点之间y的差值比上x的差值，那么a、b两点的连线的斜率就相当于f(b)-f(a)/b-a，同样切线的斜率就等于导数，所以c点处切线的斜率就是f'(c)，而两条直线平行意味着它们的斜率是相等的，于是就有定理中的这个式子。

这个几何图形非常清晰且直观地解释了拉格朗日中值定理，把这个复杂式子的来历的图形记住之后，再复杂的式子你也能随心所欲地写出来。

当然这里要多说一句，拉格朗日中值定理的证明其实也是非常重要的，它利用的是构造函数法，我找了一个曲线与直线之间差值的公式，然后再利用罗尔中值定理巧妙地得出了我们的结论，这种构造函数的方法是非常巧妙也是非常重要的。同时在很多利用拉格朗日中值定理的证明题中也用到了这种构造函数法，而且这个证明过程曾经是某一年的考研真题，希望引起同学们足够的重视。

3.定义型的公式

这是一类非常特殊的情况，在数学学习的过程中，我们经常会碰到一些表面上看起来比较长的式子，貌似是一个数学公式。但其实从本质上看，它不能称为数学公式，只能称为数学定义式。

这是怎么一回事呢？数学公式在本质上和数学定理一样，其实是一个数学命题，它描述的是一些已有的概念之间的关系。比如我们说的加法交换律：a+b=b+a，加法是我们已经有的概念，然后这个式子描述就是的两个不同的加法它们的结果之间的关系。同样地，数学公式和数学定理一样，也是需要证明的，通过证明才能保证它的正确性。

但是有另外一些式子，就是所谓的定义式。它描述的不是已有的概念之间的关系，而是在引入一个新的概念。这个式子的作用就在告诉我们这个新的概念是什么。

比如高等数学里面，我们会学到“曲率”这个概念，那曲率是什么呀？之前谁也不知道，但是书上会告诉你曲率就是下面这个式子：

其中Δα表示的是角度的变化量，Δs表示的是弧长的变化量，这个式子就是典型的定义式。定义式不需要证明，我们是人为地规定，左边的东西表示的就是右边的东西。

虽然定义式不需要证明，但是它也不是瞎定义的，如何定义是有一定的道理与依据的。比如曲率这个概念，研究的就是一条曲线在某一点的弯曲程度。那如何来衡量弯曲程度呢？当然有各种各样的办法，我们数学家就采用了其中的一种办法，就是考虑曲线在往前运动时，角度的改变量与走过的路程的改变量之间的比值。这个比值越大，说明弯曲程度越大。我们考虑某一点的弯曲程度时，就让它取一个极限，于是就得到了曲率的定义式子。

同样的例子还有概率论与数理统计中方差的概念，假设有一组数据，我是按照下面这个公式来定义样本方差的：

同样道理，你不能证明这个式子为什么是正确的，因为它是人工定义的。但是这样定义自有它的道理，我们想衡量一下数据的离散程度。一个想法是就是让每一个数值减掉所有值的平均值，得到一个差值，把所有的差值加在一起，就是总的差值，再除以n就是平均差值。但是把所有差折加在一起时会出现问题，因为有的偏大有的偏小，意思就是说差值有的是正数有的是负数，那么加在一起的话就会抵消掉。为了避免这个问题，把每个差值都平方一下，这样就会避免正负相抵的情况。所以就得到了上面那个定义式。

定义式更多地出现在统计学，经济学，和工程学中，在那里我们会接触大量的定义式，比如相关系数这个概念：

对于这一类的式子，应该是死记硬背和理解记忆兼顾。一方面，作为一个人工的定义，我们必须要把它背过，这是毫无选择的，即使不去深究它的含义，我们至少也要死记硬背，把它准确地背出来。另一方面根据我上面举的两个例子也能看出来，它这样定义不是毫无根据的瞎定义，而是蕴含了一定的道理和一定的思想，数学家们是用一个你我都能理解的途径逐步引出这个定义的，因此如果你能理解这条途径，理解数学家是怎么干的，那么这个定义式也可以自然而然地背下来。所以二者兼顾，是这类式子最好的记忆方法。

4.结语

数学体系是人类目前所构建出的最为庞大的知识体系，同时也是逻辑最严谨，结构最完整，顺序最清晰的知识体系。因此学好数学是有着一定的方法的，只有掌握对了方法，学起数学来才能事半功倍。同时也不要流于表面，每一个数学概念，数学公式，数学定理，背后都包含着一些思想在里面。只不过有的浅显，有的深刻而已，死记硬背只是第一步，但是理解其背后的思想才是更重要的，也只有这样，才能更加顺利地学好数学，而不用消耗太多的精力。

参考文献

[1] Calculus, early transcendentals, 11ed, Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, JOHN WILEY & SONS, INC

[2] Calculus, early transcendentals,7ed, James Stewart, Brook/COLE

[3] Precalculus, 7ed, James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson, CENGAGE

[4] Precalculus, 9ed, Michael Sullivan, PEARSON

[5] 《数学分析》华东师范大学数学系，第四版，北京，高等教育出版社

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网友解答：

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作为一线老师的我，经常也为你所提出的问题感到困惑，每次推导完公式或定理，都会想方设法地让学生记住，比如，采取联想记忆法，图形结合记忆法，甚至有时采取一些“土办法”，目的都是为了让学生能有效地记住公式或定理。

当然，大部分公式或定理，我们需要理解记忆。课堂上，老师讲这些公式或定理的时候，都会有一些推导或说理的过程，我们需要认真听讲，这样才可以理解这些公式的内容，掌握了公式的特点，理解了公式的性质，自然就容易记住公式。对于一些概念型公式，我们可以采取死记硬背的方法记忆，比如，你所说的有理数的加减乘除法。但是，不管采取哪种记忆法，我们必须要经常应用公式或定理，多做一些习题，自然而然就会牢固地记住它们。

下面我分享一些平时教学中记忆公式法，希望对你记忆公式或定理有所帮助。

1.借助口诀记忆：

如：两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小解不了。

抛物线的平移的口诀是：“上加下减，左加右减”。

2.图形结合记忆法：

总体来说，对于几何的公式或定理，在记忆的过程中，一定要结合图形记忆，有时，我们也无须记住文字叙述的内容，能够记住转化为数学符号语言就行了。

比如，要记住切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．

如果单纯死记硬背文字内容，不但难以记住，而且难以理解，我们可以借助图形记忆。

基本图形，如图所示，则有下列结论：

①PA=PB，

②∠APO=∠BPO，

③AB⊥OP，

④AC=BC .

3.模型记忆法。

例如，要记住特角30°，45°，60°的三角函数值，可以通过两模型来记忆。

4.联想记忆法：

例如，平行四边形、菱形、矩形和正方形的定义，我们只要记住平行四边形的定义和它们之间的差异特征就可以了。

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网友解答：

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理解是记忆的基础，要理解一个公式，首先要理解公式的来龙去脉，先要会推导公式，对公式是怎么得到的，一步一步进行演算，理解前因后果，有的公式的理解还要借助于图形，以形释数，数形结合。公式的运用是理解公式、记忆公式的最好方法，通过做一定的公式运用的题目，才能加强和进一步理解记忆公式。真正理解一个公式，要会对公式的多种应用：①公式的正向应用，②公式的逆向运用，③公式的变式运用，④公式的拓展应用，⑤公式的联合运用。

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网友解答：

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数学公式应该怎么样对待呢？提问者提出两种方式，第一种就是死记硬背，第二种就是理解记忆。

实际上，这两种记忆都是需要的。我们首先要能够记下一些基本的数学公式，数学定理等等。哪怕是死记硬背都要能够背下来。

否则我们脑子里面都没有几个公式，我们怎么能好学好数学呢，就像我们脑子里面没有词汇那样，我们怎么能一样能够学好语文和英语呢？这道理是一样的。

当我们能够把这些东西背下来之后，我们就要试图去理解它们。

什么叫理解呢？所谓理解就是能够用自己的话把这些公式的意思说出来，公式中的每一个字母代表一个什么样的量，它们之间有什么关系？到了这一步，那些公式才是我们的。我们还要进一步，那就是要用这些公式去分析问题，解决问题，或者是用它们去获得新的知识。这样这些公式就是我们的了。

这种学习数学的方式，也适合于学习物理和化学，以及其它的学科。

祝大家学习进步。

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