一个困惑多年的物理竞赛问题:下雨的时候,人是站着淋的雨多,还是在走路跑步淋的雨多?
➹☩一个困惑多年的物理竞赛问题:下雨的时候,人是站着淋的雨多,还是在走路跑步淋的雨多?
若水有话讲,和你不一样。
答案当然是:相同时间,走路跑步淋雨多,为什么呢?我们来看看缘由。
先介绍两个概念
1.水平淋雨量:和竖直速度正比,和时间正比,和水平受雨面积正比。
2.侧面淋雨量:和水平速度正比,和时间正比,和侧面受雨面积正比。
人的最终淋雨量=水平淋雨量+侧面淋雨量
先解答题主的问题
水平淋雨量
既然是物理竞赛题,我都一般认为条件是理想的即雨滴均匀而且匀速下落,这里就得到一个物理条件是:水平单位面积单位时间内的雨量一样多,我们定义为Q一样;我们设受雨时间为t,受雨面积为S,所以我们很容易得到一个人的淋雨量为Q*S*t。那站着和跑步的水平面积是一样的,取的时间一样,按照刚才的定义,跑步和站着水平淋雨量一样的。
侧面淋雨量
但是我们这里忽略的一个问题,当人跑步的时候,雨滴相对人不再是匀速下落,而是倾斜的。这是因为人跑步的时候,以人为参照,雨滴有向后的速度即有水平速度,这样水平速度使得身体侧面受雨。这时候人的淋雨量应该为:水平淋雨量+侧面淋雨量。
初步结论:相同时间,水平淋雨量一样,但跑步或走路时多了一个侧面淋雨量,所以跑步或走路淋雨多。
那接着是走路淋雨少,还是跑步淋雨少?
侧面淋雨量的多少取决于水平速度(人奔跑的速度),人的侧面面积,和刚才定义的Q,淋雨时间。刚才我们已经交代过Q一样的,对于一个人侧面面积一样的,所以这时候淋雨量最终取决于水平速度,和淋雨时间。
相同的时间,很容易得到结论,水平淋雨量一样,但跑步水平速度大,侧面淋雨量大。
但如果是相同距离呢?那我们还要得到侧面单位面积单位时间内的淋雨量:q=KV。其中K为比例系数恒定不变,V是水平速度。我们再设定奔跑距离为X,奔跑时间即为: t=X/V,这样我们得到的侧面淋雨量为q*t*侧面面积,带入公式最终得到:K*V*X/V*侧面面积,水平速度被消去,与水平速度无关。侧面淋雨量一样多。考虑到走路时间长,会造成水平淋雨量大。
结论:走路和跑步侧面淋雨量一样,但走路水平淋雨量大,走路淋雨多。
以上结论没有考虑其他因素,是理想化的结论,和现实会有出入。
看过探索频道《流言终结者》的都知道,人工降雨的结论是跑步淋雨多,在真实的雨景中走路淋雨多。
谁对谁错,难以得到结论。
我是若水,总为真实的自己。
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既然是竞赛题,应该有三个固定条件:一,相等时间内。二,风速为零。三,雨均匀落下,还要有一定的密度。
再来看问题:人是立体的,先说水平面方向,动与不动,被淋的概率是一样的。然而,人一动,会带来风速,会有所倾斜,脚迈出去的时候,会加大水平面积(倾斜也是),这个风速可以不考虑,只是身体相对于空气的速度。其实,雨没斜,迎面多淋的雨,等于后面少淋的雨,测面不变。这样结论就出来了,走路或跑步时淋的雨多,因为增大了水平面积。君不见,雨中跑时,胸前、膝盖最容易先潮,后面要好一些。(试着用常识解释常识,勿笑!)
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这个问题不但是一道物理竞赛问题,还是一道经典的数学建模问题,可以通过建立数学模型来对此进行求解。
为了方便建模,这里把人简化成一个长方体。并假设人的奔跑速度为匀速的v,人的淋雨量为w,人在雨中的行进距离为d,行进时间为t(d/v)。雨水迎面的下落速度为匀速的u,雨水的平均密度为ρ,雨水与地面的夹角为θ。
由此可以计算出,雨水相对于头顶的垂直速度分量为vy=usinθ,雨水相对于身体前方的水平速度分量为vx=ucosθ+v。头顶的淋雨面积s1=ab,身体的淋雨面积s2=bh。因此,人的总淋雨量就是头顶淋雨量和身体前方淋雨量之和。
头顶的淋雨量为:
身体前方的淋雨量为:
总的淋雨量为:
显然,∂w/∂v<0,这意味着随着速度v的增加,淋雨量w在逐渐减小。并且如果人的身体与雨水平行,理论上只有头部会受到淋雨。因此,在最为理想的情况下,对于没有带伞的人来说,在雨中奔跑的速度越快,并且身体的倾斜方向刚好跟雨水平行,那么,这个人所淋到的雨水是最少的。
为了便于计算,模型做了很多简化,最终得出的结论也是符合实际的。关于在雨中是应该行走还是快速奔跑,可以考虑两种极端的情况。一种是在雨中以接近于零的速度运动,还有一种是在雨中以接近光速的速度运动。显然,运动相同的距离,在雨中运动的时间越短,所淋到的雨水也会越少。
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如果前提是一直在雨里,当然跑的淋的雨多。只需要用极限法即可证明:如果你跑的速度趋近于无穷大,那么你就接近于把所有的水滴都“接”完了。而站着不动,只淋到一小块区域的水滴。
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大学微积分第一堂课,第一道例题,老师就讲了这个。还设定人走或跑的速度,风速和风向,雨下落速度按自由落体求出,板书带解释花了10多分钟,求出人的速度和雨方向角度。最后说了一句话:我都要花10分钟求解,换其他人时间更久。其实傻子都知道,跑的越快,淋的越少。你们3个班100多人,以后工作中能有5人用到高数就不错了,很可能一个都用不到[捂脸]
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