哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难？
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很多人说数学这门学科很枯燥无趣，认为那些搞数学的都有一个固执木讷的脑袋。造成这样看似不太公平的印象还是有点依据的，在晓然菌看来，一个很重要的原因就是数学家太爱较真了，可谓是到了锱铢必较的地步。就像数学里有些理论，明明都已经找到了无数验证正确的数学现象，只是一时半会没有找到理论证明，数学家就是不给这样的数学猜想转正，就是只能被称作猜想。
数学博大精深
这里有许多看似简单的理论，证明却是很难。
哥德巴赫猜想
这个猜想是看起来最简单不过了，“任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。”不出意外的话，你用超级计算机算到世界毁灭都不会遇到一个极其特殊的偶数，你只能写成一个奇合数和一个奇素数之和，或者是只能写成两个奇合数之和，就是不能写成两个奇素数之和，这看起来就是对的啊。
哥德巴赫
对于一个数学猜想解决它的根本道路是从理论上经过逻辑推理，通过推导得到最后成立与否的证明，凡是经历过这样的过程，才能把猜想转正成定理。历史上，在哥德巴赫猜想提出的几百年里，数学家们一直都没放弃过理论上来解决它，尤其在20世纪前半叶，关于哥德巴赫猜想的突破几乎是隔几年来一次。在这里中国解析数论学派取得了重大成就。王元，潘承洞，潘承彪，华罗庚，陈景润都有相当大贡献。
陈景润
目前哥德巴赫猜想最好结果仍然是陈景润在1973年给出的，陈景润的最好结果是：一个充分大的偶数都可以写成一个奇素数和不超过2个奇素数乘积的和，也就是“1+2”。但是猜想的终极目标却是“1+1”啊。如今将近50年过去了，仍然没有进展。人们都认为要有开天辟地的新方法才能解决这个难题了，交给下一个时代的数学家们吧。
哥德巴赫猜想看起来很简单吧，但就是解不开。
3X+1问题
给你一个任意的整数，如果是偶数就除2，如果是奇数就乘3加1,然后如此迭代下去，最终一定会收敛到1。
第一次看到这个问题的同学一定会狐疑，真的吗？我不信。不信，那你就试着算几个呗，好像是真的哎，手算的太小，我用计算机来模拟。如果你的计算机算力足够大，一直计算到100*2^50次方，你会惊奇地发现，这个好像真的是对的，没有一个例外。
考拉兹猜想表述很简单
这个猜想提出的时间不算太久，1937年才开始出现，德国数学家考拉兹发现的发现的。一经推出，立刻风靡世界，50年代的某段时间里，整个耶鲁大学几乎每个人都在研究这个问题。然而，大部分的研究仅限于验算。
3X+1问题计算过程极为动荡
这个小游戏看起来太简单了，理论上应该很好证吧，不好意思，70年来，无人能破，甚至找不到一个真正意义上的突破。前段时间，陶哲轩宣布破解了在这个问题的一小部分，就让很多人心里激动了好久。
陶哲轩
然而，这个世界上最坦荡的就是数学题了，不会就是不会，解不开就是解不开，任何伪装都是徒劳的。
数学家 考拉兹
当然了，数学里有太多这种看似简单实则巨难的问题，只不过以我们普通人的水平都被这最浅显的陈述所蒙蔽了。陈景润曾经说过：“一些想要在哥德巴赫问题研究上有所突破的同志们，必须至少要有数学研究生以上的水平，并且要持续至少要在数论领域深耕数年才有可能有所发现，不具备上述能力的同志们是不可能做出真正的成果的。”
在陈先生的这段话里我们也认识到，数学可以很简单，也可以很困难，唯一要保持的就是对于数学探索的信心以及敬畏之心。
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欧几里德几何中的第五公设(公理)，过直线外一点有且只有一条直线与它平行。在直觉上是完全正确的，但实事并非如此。
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1+1=2
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Plateau's problem（普拉托问题）
这个问题看上去非常简单，就是问在边界固定的情况下，什么样子的曲面面积最小。这在物理上是一个很显然的问题。根据普拉托定律，你拿个铁丝弯成边界，然后吹肥皂泡就好了。但是这个在数学上来说，是一门学科，几何测度论（ Geometric measure theory ）的核心问题。
为什么说这个问题难呢？我们考虑一个简单的情形，即在三维空间中边界为圆弧的曲面。这个问题答案很显然，就是圆盘。但是从数学角度而言，这个不简单。
通常的想法就是，我们可以把曲面视为一个从二维圆盘到三维空间的映射，然后利用变分法去考虑这个问题。但是这个方法有着很多毛病，其中最大的问题就是缺乏紧性。我们不妨试着跟着这个思路走一下，看看会出怎样的问题。
1. 遍历所有可能的曲面，然后取一个面积趋近于最小（infimum）的序列；
2. 找出一个收敛子序列；
3. 证明极限就是我们想要的曲面，即最小曲面。
在这三步计划中，第二步就会出现很大的问题。比如：
【我是一个有理想的曲面，我的目标是要成为极小曲面】
【嗯，我的面积缩小了。感觉好棒！】
【我的面积又缩小了。可是为什么我感觉怪怪的呢……】
【啊……肯定有……有什么不对……啊……怎么回事……我的面积明明缩小了啊……为什么……我感觉好奇怪啊……不行啊……为什么会变得这么奇怪呢……啊……】
【图片来源：Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide 作者：Frank Morgan】
【请绅士们严肃看待这些图片，不要想歪了！也不要“我好兴奋啊”！】
换句话说，即使是曲面的面积在趋近于，你所取得序列也可能长得非常奇怪，有很多很多的触手（马猴烧酒的好朋友），甚至于这些触手可以触及空间中所有的有理点。换句话说，你最后得到的东西的闭包是整个 .
看看，物理中多么显然的东西，在数学中就是这么的让人纠结。存在性就已经够难了，更别说正则性（即最小曲面是否光滑等等）……这个问题直到20世纪中期才有解决方法。具体方法涉及专业知识较多，我自己也不是很熟悉，就不细说了。
其实这种问题很多。比如在给定条件（比如边值）下的拉普拉斯方程
的解的问题。这个问题在物理上也是几乎显然的，因为电势就是解。但是在数学上这个问题并不简单，一般而言需要Sobolev空间等知识进行解决。
哥德巴赫猜想:1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了一个猜想:任一大于2的整数都可写成三个质数之和，欧拉也在回信中表达了对于这个猜想的肯定，因现今数学界已经不使用"1也是素数"这个约定，原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。这就是典型的难证明问题，因为你随便找出一个大于5的整数，它就一定能够由三个质数想加的出，但是至今无人能够证明出来，在这方面走的最远的人应该就是我国著名数学家陈景润先生了，陈景润先生1973年发表了（1+2）的详细证明，被公认为是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献，因此他也被称为哥德巴赫猜想第一人。
2、一加一等于二:大家可能会觉得我在开玩笑，因为这是一个连小学生也天天拿来用的东西，怎么会没经过证明呢？在这里我明确的告诉大家，一加一等于二仅仅是一个结论，而且是一个正确的结论，所以拿来用肯定是对的，但是数学界有很多的结论可以拿来用，却没有经过证明，一加一等于二就是被用最多的之一，迄今为止，全世界没有人能够证明得出一加一等于二，不过大家也不用怀疑什么，因为这个结论肯定是对的，并且已经有数学家证明出了一家二等于三，这样的话，离证出一加一等于二还会远吗？
总结:生活中其实有很多的小常识都是通过人们日常的经验所总结和流传下来的，但是要你解释一下为什么要这么做，我想大概率是解释不出来的，数学也是这样，这可能也就是数学的魅力所在。
很多的数学定律已经深入人心了，比如证明三件行权等啊，还有那些互补角，
两条直线平行啊，这都是我们生活中张口就来的，可是这就容易形成思维定式。就像我最讨厌的老师说的话就是背过就行了。实在是理解不了的死记硬背就行。下面我们一一列出有哪些定力直觉上是对的，但是证明起来很困难。
两条直线平行
这个定理使我们的小学老师跟我们说的，我依稀记得他当时讲的时候还说了一个笑话，猴子最不喜欢哪种线你？答案是平行线。因为永远没有相交（香蕉），当时感觉很好玩，所以就记到了现在。还记得他当时说有一个科学家为了证明这个定理，一只花了好长好长的线，这两条线一直没有相交。不过这个定理证明起来是真的很困难啊。难道要一直画下去吗？
得数是1的定理
对任意正整数n，如果n是偶数，那么除以2，如果n是奇数，那么乘以3再加1；对所得到的数重复上述步骤，那么最后总能得到1。看起来再显然不过了，而且貌似只要学过初等代数和初等数论就能证明，可是无数大牛数学家都在这个3x+1猜想上栽了跟头。
很多的数学家都在研究这个定理，但是到最后谁也没有研究出个所以然来。而且让数据额家门开始怀疑人生了，到现在这个定理好像还是没有解决啊。
还有很多奇葩的定理，我之前在一些杂志上还看到了涂色的定理，有兴趣的话可以去看看。
数学和我们的直觉在很多时候简直就是相悖的！
这个定理的描述是这样的：假如你去登山，假设上午8点从山脚出发，一路上饱览风光，中午12点到达山顶，在山上玩乐过夜，第二天8点从山顶出发，原路返回，悠哉悠哉下山，中午12点恰好到达山脚。那么，存在这样一个有趣的现象：肯定在某个时刻，你在山上的位置和昨天在山上的位置是恰好一样的。或者说，两次到达山上某个地点的时间是相同的。第一次读到这个数学定理的时候，大脑当时就宕机了，当然这可能和我的不怎么太聪明的大脑有关。这个定理是荷兰数学家布劳威尔在1912年给出的！大家能想明白这个数学定理吗！？
花了好久的时间，才找到一点能理顺的概念！但这牵扯到拓扑的概念，我讲不清楚，我自己的数学还仅仅停留在高等微积分的阶段。至于群论、拓扑、流形等已经很久之前就交还给大学的数学/物理老师了！于是在草纸上慢慢的推算，总算有点心得，当然只是验证，不是证明！
能够找到的比较学术化但却简单易懂的说法如下：把这个人两天的行程重叠到一天去，换句话说想像有一个人8点从山脚出发，12点走到了山顶，而同一天还有另一个人8点从山顶出发，12点走到走到了山脚。这两个人一定会在途中的某个地点相遇。这就说明了，这个人在两天的同一时刻都经过了这里。
真是头大！当然这还不算是头大的！毕竟，还能用一定的推理方法让大家明白！那么看看从这个简单的定理推出的稍微复杂一些的另外两个表述，当然维度增加，让大脑更加的混沌了。
第一个：取两张大小相同的纸，把其中一张纸揉成一团之后放在另一张纸上（不要出边界），那么，纸团上一定 存在一点，它正好位于下面那张纸的同一个点的正上方。
揉过的纸团
第二个：当你搅拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一个点，它在搅拌前后的位置相同。
搅拌后的咖啡
这简直就不可能从自己的脑海中得到直观的认识！再一次相信了，做数学的都是天才！而这个简单的定理有一个非常响亮的名字：布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed point theorem），并且基于这个定理，有多本厚厚的大部头学术专著闻名于世！而且这个不动点定理在经济学中也大放异彩，曾经从她推导出的结果在1972年和1983年获得过诺贝尔经济学奖！
《不动点理论及应用》封面
数学，有时候，真的是让普通人的直觉无所适从！能够从事数学专业的，都是让人膜拜的天才
⇦☝哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难？
刚学几何时，人们根据自己的认知，那些简单图形的基本定理都是人类几千年共认的公理、定理，感觉无需证明，比如平行线的一此性质与判定，垂线的性质等，它们的证明都不是直接证法，而是用反证法进行推定，证明方法诡异，学生是不容易接受与理解。
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