你知道哪些神奇的数字？

2024-10-31 02:50:01 浏览：1

▍Ⓥ你知道哪些神奇的数字？

例如24、60、163、248、1729、3264、196884。

24，四维空间的牛顿数，K3曲面的欧拉示性数，生活中最常见的数之一。

60，生活中最常见的数字之一。

163，一个Heegner数，非平方数的正整数：其虚二次域Q(√−d)的类数为1，亦即其整数环为唯一分解整环。

248，248维空间，E8空间结构，今年获菲奖的乌克兰女数学家的研究就是与E8有关。

1729，拉马努金数也叫的士数，1729= 1³ + 12³ = 9³ + 10³ 。

3264，在复射影平面上，给定5个一般的二次曲线，有多少条二次曲线与之都相切(代数几何的相关知识),出自《3264那些事儿》。

196884，Griess代数的维度是196884，J函数的第一个重要系数，与之相关最出名就是魔群月光猜想（已经证明）

其实很有趣的数字有很多，我所感兴趣的是这些数字背后的含义，例如6是一个完美数，全部的因子(除去本身)加起来等于本身。数学很有趣，希望越来越多的人喜欢数学。

▍▍你知道哪些神奇的数字？

题主提到了一个神奇的数 142857。这个数的神奇之处在于，它的 2 倍到 6 倍是这 6 个数字的一个排列，并且如果把 142857 写两遍：142857142857，则它的 2 倍到 6 倍恰好是这 12 个数字中的连续 6 位：

142857*2=285714

142857*3=428571

142857*4=571428

142857*5=714285

142857*6=857142

看起来特别神奇是吧？拥有这种性质的数我们称之为 “走马灯数”，其性质就像下图那样：

“走马灯数”看起来是如此神奇，直觉告诉我们，这样的数非常罕见，然而，真的是这样吗？

我们注意到，142857*7=999999，而这，正是走马灯数的奥妙所在。

如果你学过极限，应该会认同 1=0.99999999……而 142857*7=999999，意味着 142857 正是 1/7 的循环节。相信对于学过数学的人来说，竖式计算一定不陌生，就像下图所示：

参见图中的彩色数字，我们发现，在作除法的过程中，余数为 1~6 的情况恰好都出现了。

这就不难解释为什么 142857 的 2~6 倍都是循环节的一部分：因为任何不能被 7 整除的数，余数必然是 1~6 中的一个，因此必然会落入相同的循环劫中啊！

看到这里，我们恍然大悟：如果 1/n 在做竖式除法的过程中，余数恰好遍历了 1,2，……，n-1，那么其循环节必然也是“走马灯数”。

在数学上可以严格证明，这个性质等价于：当 p 为素数，且 10 为模 p 的一个原根时， 1/p 的循环节是 “走马灯数” （反过来其实也成立）。

著名的数列网站 OIES 给出了这样的一个数列（A001913）：

数列的第一项就是大名鼎鼎的 7。第二项是 17，

1/17= 0.0588235294117647 （循环）

这就意味着： 588235294117647 也是一个“走马灯数”：

588235294117647 *2= 1176470588235294

588235294117647 *3= 1764705882352941

588235294117647 *4= 2352941176470588

588235294117647 *5= 2941176470588235

……

类似地，1/19， 1/23， 1/29…… 的循环节，也能产出对应的 “走马灯数”。

原本我们以为，像 142857 这样的走马灯数，是凤毛麟角，不可多得的，没想到，它其实也很常见啦！

▍✤你知道哪些神奇的数字？

其实每每看到这样的问题，就有一种感觉，肯定又会有人拿数字的规律来说：

哇，我们通过计算，发现了数学的规律，好神奇呀！

但事实上，真的是这样吗，其实我们可以来解剖一下计算过程：

1×9=09

12×9=108

123×9=1107

1234×9=11106

12345×9=111105

。。。

好像我也发现神奇的规律了。。。

是的，在这种计算方法下的数字确实存在一种规律性，但这其中的数字并没有所谓的神奇。如果硬是要感叹数字的美妙，倒还不如感叹一下发现这个规律背后的奇思妙想。

在我看来，最神奇或者最有趣的应该是常数e和圆周率π，我也相信这两个“数字”无论是在数学界，还是在物理界，甚至在科学界，都是不可被替代的。

他们两个都是无理数，两个管理着科学世界的千奇百怪，而人类花了几千年才发现的世界规律背后的这两个小小的数。

常数e

“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”

增长的意义：

当你去了解这个世界的时候，你会发现有许许多多的事物与常数e有关：

增长率正比于变量自身的大小。例如放射性元素衰变的时候，衰变率就和现存的放射性物质多少成正比；资源无穷多的社会，人口出生率将（近似的）和现存人口数成正比等等。而此类变化规律所确定的解，则是由以e为底的指数增长所描述的：如果x的变化率等于变量x自身的λ倍，那么该变量随时间t的函数则为

欧拉恒等式：

既然说起常数e和圆周率π，怎么可以省略我们很重要的一员呢。

数学中最基本的5个常数——0、1、圆周率π、自然对数的底e和虚数单位i，以及数学中最基本的两个符号,等号和加号，就这样通过一个简单的恒等式联系在了一起，实在是让人叹服。

这个等式有个一几何的直观解释。一个实数在实数轴上可以用一个向量表示，旋转这个向量，就相当于乘以一个虚数i。据此建立一个以实数为横轴，虚数为纵轴的坐标系。实单位向量，每次逆时针旋转π/2, 可以分别得到结果1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。而当实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到的向量就是：cosθ+isinθ。所以 e iπ 意味着单位向量逆时针旋转了π，结果显然是-1。

关于常数e的故事还在继续，而π的故事早已铺满整个网络。从阿基米德，到中国的祖冲之，再到我们的课本上，关于π的内容早已耳熟能详，但看下来，根本就没人来选择圆周率π，更别说常数c。

数字有时候真的很美，但我们也不需要猎奇的创造。

▍♋你知道哪些神奇的数字？

西西弗斯串

在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推，永无休止。著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名的。

什么是西西弗斯串呢？也就是任取一个数，例如35962，数出这数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），用这3个数组成下一个数字串235。对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得123。对这个程序和数的"宇宙"来说，123就是一个数字黑洞。

是否每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。例如：88883337777444992222，在这个数中偶数、奇数及全部数字个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入"黑洞"了。

这就是数学黑洞"西西弗斯串"。

孔雀开屏数：（20＋25）的平方=2025

类似的数还有两个：

（30＋25）的平方=3025

（98＋01）的平方=9801 与此相类似的还有：

（2+4+0+1）的4次方=2401

（5+1+2）的立方=512

（8+1）的平方=81

回归数

英国大数学家哈代（G.H.Hardy,1877-1947）曾经发现过一种有趣的现象:

153=1^3+5^3+3^3

371=3^3+7^3+1^3

370=3^3+7^3+0^3

407=4^3+0^3+7^3他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四（五,六）次幂之和的四（五,六）位数:

~ 1 / 9 ~

1634=1^4+6^4+3^4+4^4

54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5

548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6注:3位3次幂回归数又称位“水仙花数”

像这种其值等于各位数字的 n 次幂之和的 n 位数,称为 n 位 n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数 n 有回归数?这样的 n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的 n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?

1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那（Anthony Diluna）巧妙地证明了使 n 位数成为回归数的 n 只有有限个.

设 An 是这样的回归数,即:

An=a1a2a3...an=a1^n+a2^n+...+an^n （其中 0<=a1,a2,...an<=9）从而 10^n-1<=An<=n9^n 即 n 必须满足 n9^n>10^n-1 也就是（10/9）^n<10n （1）

随着自然数 n 的不断增大,（10/9）^n 值的增加越来越快,很快就会使得（1）式不成立,因此,满足（1）的 n 不能无限增大,即 n 只能取有限多个.进一步的计算表明:（10/9）^60=556.4798...<10*60=600 （10/9）^61=618.3109...>10*61=610对于 n>=61,便有（10/9）^n>10n由此可知,使（1）式成立的自然数 n<=60.故这种回归数最多是60位数.

迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:

一位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9

二位回归数:不存在

三位回归数:153,370,371,407

四位回归数:1634,8208,9474

五位回归数:54748,92727,93084

六位回归数:548834

七位回归数:1741725,4210818,9800817

▍✓你知道哪些神奇的数字？

〈原始创作〉再长长见识！

实际最神奇的数字是π，e，i。

题主提到的142857，我以前说过的，这里说些不同的。因为是埃及人写在金字塔里的数，人们就感到奇怪。