自然对数e是怎么来的？

2024-12-20 13:10:02 浏览：1

▍自然对数e是怎么来的？

e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰•纳皮尔引进对数。它就像圆周率 π 和虚数单位 i，e 是数学中最重要的常数之一。

它的数值约是（小数点后 100 位）：e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274

第一次提到常数 e，是约翰•纳皮尔于 1618 年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉•奥特雷德 (William Oughtred)制作。第一次把 e 看为常数的是雅各•伯努利(Jacob Bernoulli).

已知的第一次用到常数 e，是莱布尼茨于 1690 年和 1691 年给惠更斯的通信，以 b 表示。1727 年欧拉开始用 e 来表示这常数；而 e 第一次在出版物用到，是 1736 年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母 c 表示，但 e 较常用，终于成为标准。

用 e 表示的确实原因不明，但可能因为 e 是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称 a，b，c 和 d 有其他经常用途，而 e 是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字 Euler 的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。

很多增长或衰减过程都可以用指数函数模拟。指数函数的重要方面在于它是唯一的函数与其导数相等（乘以常数）。e 是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证为超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔•埃尔米特(Charles Hermite)于 1873 年证明。

当 x 趋于正无穷大或负无穷大时，“1 加 x 分之一的 x 次方”这个函数表达式（1+1/x）^x 的极限就等于 e，用公式表示，即：

lim （1+1/x）^x＝e （x 趋于±∞）

实际上 e 就是欧拉通过这个极限而发现的，它是个无限不循环小数，其值等于 2.71828…… 。以 e 为底的对数叫做自然对数，用符号“ln”表示。

以 e 为底的对数（自然对数）和指数，从数学角度揭示了自然界的许多客观规律，比如指数函数“e 的 x 次方”对 x 的微分和积分都仍然是函数本身。后人把这个规律叫做“自然律” ，其中 e 是自然律的精髓。因此，上述求极限 e 的公式被英国科学期刊《物理世界》2004 年 10 月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一，并且名列第二。

欧拉（Leonhard Euler公元 1707 －1783 年） 1707 年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城， 13 岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰•伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748 年）的精心指导。

欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从 19岁开始发表论文，直到76 岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到如今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为 “分析学的化身” 。

欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，称为数学界的莎士比亚。据统计他那不倦的一生，共写下了886 部书籍和论文，其中分析、代数、数论占 40%，几何占 18%，物理和力学占 28%，天文学占 11%，弹道学、航海学、建筑学等占 3%。彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了47 年！数学史上称 18 世纪为“欧拉时代” 。

欧拉还创设了许多数学符号，例如函数 f（x）（1734 年），π（1736 年），log 和 e（1748 年），sin 和 cos （1748 年），tg（1753 年），△x（1755 年），∑ （1755 年），虚数 i（1777 年）等等。

欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾 13 个孩子在旁边喧哗。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在 59 岁双目失明后的 17 年间，他还口述了几本书和 400 篇左右的论文。

19 世纪伟大数学家高斯（Gauss ，1777-1855 年）曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。”欧拉的父亲保罗•欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点教学。由于小欧拉的才华和异常勤奋的精神，又受到约翰•伯努利的赏识和特殊指导，当他在 19 岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。

1725 年约翰•伯努利的儿子丹尼尔•伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在 1727 年 5 月 17 日欧拉来到了彼得堡。1733 年，年仅 26 岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。

1735 年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才 28 岁。

1741 年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到 1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力急剧衰退，最后也完全失明。

不幸的事情接踵而来。1771 年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病且双目失明的 64 岁的欧拉，被围困在大火中。虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。

沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达 17 年之久。欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。欧拉在失明的 17 年中，还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。

欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从 19 岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生．等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759 年 10 月 2 日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉。他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：“欧拉是我们的导师。”

欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783 年 9 月 18 日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我死了” ，欧拉终于“停止了生命和计算” 。

欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。

欧拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。只有那个大约等于 2.71828 的自然对数的底，被他命名为 e。但因他对数学广泛的贡献，因此在许多数学分支中，反而经常见到后人以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

相对于 π 是希腊文字中圆周第一个字母，e 的由来较不为人熟知。有人甚至认为：欧拉取自己名字的第一个字母 e 作为自然对数的底。

其实欧拉选择 e 的理由，较为多数人所接受的说法有二：一为在 a，b，c，d 等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是 e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；另一说法为 e 是“指数”一词英文的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的“指数”都是它。究竟 e 的来历是什么？至今仍然是个谜。

▍自然对数e是怎么来的？

e是“指数”（exponential）的首字母，也是欧拉名字的首字母。和圆周率π及虚数单位i一样，e有时被称为自然常数（Natural constant），是一个约等2.71828182845904523536……的无理数。是超越数，也就是说，它们不能用整系数的代数方程求解得来．

第一次把e看成常数的是雅各布•伯努利，他开始尝试计算lim（1+1/n） n 的值，1727年欧拉首次用小写字母“e”表示这常数，此后遂成标准。

高中数学必修一对数与对数运算一节中，有以10为底的对数，即常用对数。教材中也指出，如果底数是以 e为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然对数的底e=2.71828……是一个无理数。除此之外，我们知道甚少，e似乎是来自纯数学的一个问题。事实上，对于自然对数的底e是有其生活原型的。在历史上，自然对数的底e与曾一个商人借钱的利息有关。

假如，某人把本金M元存入银行，若年利率为r，那么一年后利息就为rM．把利息并入本金，得本利和为M+rM=M（1+r）（元）.

如果以此作为新本金，再存入银行，再过一年，本利和就成了

（1+r）M+r（1+r）M=（1+r）²M（元）.

依次类推，本金M元，年利率r, n年后本利和便为（1+r）ⁿM（元）.

这就是年复利问题．

如果不每年复利一次，而是每年复利k次，那么n年后本利和变为

为增加本文的趣味性，将式子变为具体数值．

假如某个小朋友有1元钱（M=1）存入银行，年利率为100%（r=1．通常年利率为5%～10%，本文做理论探讨，假设了这样一个特高的利率）.

若每年复利一次，到年终1元就变成了2元．

若半年复利一次，到年终1元就变成了

若每月复利一次，到年终为

若每天复利一次，到年终为

若每小时复利一次，到年终为

若每分钟复利一次，到年终为

即数学家欧拉把

极限记作e，e=2.71828…，即自然对数的底。这个极限是高等数学中的重要极限之一．我们通过计算复利问题得出，当然可用于计算复利问题．

比如，本金M元，年利率r，每年复利k次，当k无限增大时，n年后的本利和，并不是无限增大，而是趋近于一个极限值，这个极限值就与e有关，即

e是一个无限不循环小数，可以用如下级数求其近似值：

取的位数越多，其精确程度越高．

e的影响力其实还不限於数学领域。大自然中太阳花的种子排列、鹦鹉螺壳上的花纹都呈现螺线的形状，而螺线的方程式，是要用e来定义的。建构音阶也要用到 e，而如果把一条链子两端固定，松松垂下，它呈现的形状若用数学式子表示的话，也需要用到e。气压公式（气压随高度的不同而变化）；欧拉公式；物体冷却的规律；放射性衰变和地球的年龄；计算火箭速度的齐奥尔科夫斯基公式等．这些与计算利率或者双曲线面积八竿子打不著的问题，居然统统和e有关，岂不奇妙？

▍自然对数e是怎么来的？

自然对数是以常数e为底数的对数，记作lnN（N>0）。在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义，一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。

e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828……，是这样定义的：当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。

注：x^y表示x的y次方。

随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.71828……，不信你用计算器计算一下，分别取n=1,10,100,1000。

正态分布的概率密度，其中a是正态分布的平均值，是标准差，是方差。正态分布用处太广泛了，而且根据中心极限定理，任何大量的独立变量之和都趋于正态分布。这里面e当仁不让的占据着核心地位。

除了数学领域，物理学领域也有大量的公式和定律中出现e。例如麦克斯韦速率分布定律、气体在重力场中的玻尔兹曼分布、布朗运动规律、放射性元素衰变等等等等。

e是一个美妙而神奇的常数，而且是不容易被发现和认识到的常数。感谢历史上诸多伟大的数学家，使我们了解了这样一个神奇的常数，并且推动着科学不断向前发展。

▍自然对数e是怎么来的？

事起瑞士的银行付息。最终由欧拉敲定。

具体可查阅头条里李永乐老师的视频，那里面有详细解答。

▍自然对数e是怎么来的？