圆周率是怎么计算的？
▍圆周率是怎么计算的？
祖冲之早已告诉大家了，西洋人只是在这基础之上说得更详细点而已。
▍圆周率是怎么计算的？
欧几里德的《几何原本》里有公理：过一点以某个半径可以做一个圆。根据相似形可知任何一个圆的周长与直径的比都是一个常数，把这个常数称为圆周率π。这个常数是一个无限不循环小数，即无理数。
从古希腊时代开始，由于科学研究和工程技术的需要，圆周率的计算就一直没有停止过。直到今天，圆周率依然是检验计算机计算能力的方法之一。日本某个无聊的出版社居然出了一本一百万位的圆周率的书《円周率1000000桁表》，全书只有一个数字：π
如果使用一根软绳测量圆的周长，再除以圆的直径，只能得到圆周率大约等于3的结果，更加精确的结果只能依赖计算。现代圆周率计算的方法很多，本文只介绍历史上最早计算圆周率的三个人物：阿基米德、刘徽和祖冲之。
阿基米德
阿基米德是最早得出圆周率大约等于3.14的人。传说在他临死时被罗马士兵逼到一个海滩，还在海滩上计算圆周率，并且对士兵说：“你先不要杀我，我不能给后世留下一个不完善的几何问题。”
阿基米德计算圆周率的方法是双侧逼近：使用圆的内接正多边形和外切正多边形的周长来近似圆的周长。正多边形的边数越多，多边形周长就越接近圆的边长。
阿基米德最终计算到正96边形，并得出π约等于3.14的结果。阿基米德死后，古希腊遭到罗马士兵摧残，叙拉古国灭亡，古希腊文明衰落，西方圆周率的计算从此沉寂了一千多年。
刘徽
阿基米德死后五百年，中国处于魏晋时期，著名数学家刘徽将圆周率推演到小数点之后四位。他在著作《九章算术注》中详细阐述了自己的计算方法。
刘徽的算法与阿基米德基本相同，但是刘徽提出了正N边形边长Ln与正2N边形边长的递推公式。
设圆的内接正N边形的变长为Ln，如图中AB所示。
将正N边形变为正2N边形，边长如图中BD所示。
由此可以得到递推式：
又因为正六边形L6=1，可以得到L12，L24，L48...
刘徽最终计算到了3072边形，得到圆周率的值
祖冲之
又过了两百年，中国数学家祖冲之横空出世。
祖冲之使用“缀术”将圆周率的值计算到小数点后第七位，指出：
这个结果直到一千多年后才被西方超越。但遗憾的是，“缀术”到底是什么方法，已经失传，至今仍是千古疑案。
华罗庚等科学家认为：祖冲之的方法仍然是割圆法，但是如果要得到这个精度，需要分割到24576边形，从正六边形出发，还需要迭代刘徽的公式12次，而且在每次迭代的过程中，必须保证足够多的有效数字，否则就会影响到最后的结果。祖冲之通过什么神奇的方法保证了计算的准确？至今仍是一个谜。
另外，小时候看了一个故事， 很久以前，有位教书先生，整日里不务正业，就喜欢到山上找庙里的和尚喝酒。他每次临行前留给学生的作业都一样：背诵圆周率。开始的时候，每个学生都苦不堪言。后来，有一位聪明的学生灵机一动，想出妙法，把圆周率的内容与眼前的情景（老师上山喝酒）联系起来，编了一段顺口溜：
山巅一寺一壶酒（3.14159）尔乐苦煞吾（26535）把酒吃（897）酒杀尔（932）杀不死（384）乐尔乐（626）
▍圆周率是怎么计算的？
比较早的系统的圆周率计算方法，是刘徽的“割圆术”
通过计算正多边形周长和圆半径的比值，来计算圆周率。工作繁琐，效率低下。祖冲之父子割出来了6万多边形，也只算到7位。
之后出现了级数法，例如莱布尼茨级数：
π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9……
马青公式：π/4=4（1/5-（1/5）³/3+（1/5）^5/5-(1/5)^7/7+……）+（1/239-（1/239）³/3+(1/239)^5/5-(1/239)^7/7+……）
但收敛速度都比较慢。表现比较好的，这个马青公式，算到了137位。
现代计算机，则常用高斯-勒让德法。
收敛很快，迭代十几次就能算出上千万位。很给力。
也有很神奇的BBP法，可以直接算特定位上的π值。这个公式经常用来验证π的计算是否正确。
圆周率是无理数，这一点也是有严格证明的。
当然，如果你愿意，也可以定义一个“π进制”
这里用方括号表示不同进制。比如(10)[2]，就是2进制下的10，也就是十进制下的2.
在π进制里：
(10)[π] = (π)[10];
(1)[π] = (1)[10];
(100)[π] = (π^2)[10];
但是计算起来就巨麻烦，也很少有人会用这个来讨论。
▍圆周率是怎么计算的？
答：圆周率的计算过程，经历了实验算法、几何算法、分析算法和计算机算法的过程；其中，新工具的出现，对计算圆周率起了重要作用。
实验算法
在古时候，人们对圆周率的精度要求还不高。比如公元前1世纪左右，我国最古老的数学著作《周髀算经》，就记载着“径一周三”，也就是把圆周率近似看作“3”。
在古巴比伦时期（公元前1900年~公元前1600年），古巴比伦人就记载了圆周率=25/8=3.125。
古人只需要画一个圆，然后分别测量其周长和直径，就可以得到圆周率；虽然和圆周率的真实数值相差很大，但是对那时候的生产活动来说足够用了。
但该方法对圆周率的计算精度非常有限，只能精确到圆周率的小数点后第一位，要想精确到第二位都很困难。
几何算法
几何算法避免了测量的误差，比如阿基米德（公元前287~212），计算圆的内切正多边形和外接正多边形，然后取其平均值，把圆周率计算到3.141851。
而我国的古代数学家祖冲之（429~500），利用割圆术，计算到正24576边形，把圆周率精确到小数点后第七位（3.1415926~3.1415927），这一记录保持了800多年才被欧洲人打破。
15世纪，阿拉伯数学家卡西，把圆周率精确到17位小数。
1596年，德国数学家鲁道夫·范·科伊伦，把圆周率精确到20位小数。
1610年，鲁道夫·范·科伊伦耗尽毕生精力，用了10多年的时间，再次把圆周率精确到了35位，这也算是手工几何算法的极限了。
分析算法
进入18世纪后，数学家有了三角函数、连分数、无穷级数、微积分和虚数等工具，大量圆周率的计算公式涌现出来，大大提高了数学家计算圆周率的效率。
比如著名的梅钦公式：
由英国数学家梅钦，于1706年提出，该级数的收敛速度非常快，至今也是计算机计算圆周率的主要公式之一。
数学家Jurij Vega，在1789年，利用梅钦公式把圆周率精确到140位小数（后来得知前137位才是正确的）。
人工计算的记录，是在1948年，美国两位数学家利用一个全新的圆周率公式，手工计算到了808位小数。
比如我们利用虚数i的性质，可以轻松构造出许多圆周率的级数：
还有印度数学奇才拉马努金，仅凭冥想就能意会出许多圆周率级数，而且级数的收敛速度非常快，比如下面两个公式就是拉马努金提出来的：
其中第二个公式，只要输入第一项，就可以把圆周率精确到十进制的第八位：
分析算法的出现，让人们计算圆周率不在成问题，哪怕是手工计算，都可以轻松计算到小数点后数十位；而我们只需要精确到小数点后34位，然后用来计算宇宙周长，就可以精确一个原子的误差。
计算机算法
进入计算机时代，更高精度的圆周率实用意义已经不大，计算机学家更多地利用计算圆周率的程序，来检验计算机的能力。
在1995年，三位算法学家Bailey、Borwein和Plouffe在研究计算机算法时，意外地发现了一个神奇的圆周率公式——BBP公式。
利用该公式，可以独立计算十六进制圆周率的任意位数的数字。
BBP公式的证明过程如下：
也就是说：利用BBP公式，我们可以直接计算十六进制圆周率的第10亿位数字，而不需要知道10亿位前的任何一位；虽然只限于十六进制圆周率，但不得不说这真是一个神奇的公式。
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▍圆周率是怎么计算的？
更新内容了！
2010年1月7日——法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。
2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。
计算圆周率π有关的神奇公式：
1这是韦达（Francois Viete,1540~1603）给出的史上第一个关于π的公式
注意到它的无穷的根式结构以及整个公式只用到了数字2！！！
2沃利斯（John Wallis，1616~1703）π方程
毫无疑问这个公式非常漂亮，因为这是一个无穷乘积，形式上很简洁。沃利斯通过计算两个积分（这两个积分是正弦函数的2n+1次幂与2n-1次幂，从0积到π/2）得到两个关于n的分式，再用两边夹方法得到了这个公式。
沃利斯乘积：
数学家沃利斯在1655年发现的：
Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，它是在1655年发现的。公式内容如下：
Wallis公式
其中
，
开方后还可以写成：
3这个公式是拉马努金发现的
整个公式充满了拉马努金的风格，他发挥自己在无穷级数与无穷连分式方面深刻的洞察力将两大数学常数完美地融合在了一起。
数学家拉马努金发现的计算圆周率公式：
4斯特林（String）公式的变形
斯特林公式（Stirling's approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。
或更精确的
或
其实这个公式是斯特林公式变形，但好处在于，有极限，有指数，有阶乘，有e，有π。信息量相当大。
5貌似是一个当官的导出来的
貌似是外国一个伯爵看到了沃利斯公式，就将其化成了无穷连分式。虽是变形，可美感更深一层了。可以清晰地看到圆周率和奇数，平方数之间神秘的关系。
6欧拉（Euler）发现的公式
欧拉是个巧匠，他运用各种巧妙而又简单的方法发现了大量美丽的公式和定理，以上便是一例。在这里，圆周率跟质数联系到了一起（注意，貌似应该是负一的n次方。）
7高精度计算π的公式
高精度不是吹的，这个简单而又优美的公式居然不是π的精确公式，却可以将π精确到小数点后420亿位！！！纯造化~~~
8 数学家莱布尼茨发现的计算圆周率公式：
9 高斯积分：
10 统计学中正态分布的概率密度函数：
物理学中的海森堡不确定性原理：
物理学中的爱因斯坦相对论的场方程：
梅钦类公式：
其中arctan x可由泰勒级数算出。
网摘
求π的方法已经有很多，今天介绍几款奇特的方法。
对于π值的追求，一直伴随着人类，可以说，对π的计算方法，一个角度就反映了人类数学的发展程度。古代，没有任何工具，也没有先进的数学工具，唯一的就是靠笔算，于是祖冲之有了他的领先结果，
近代，微积分等学科的发展给π的求解带来了新的视角，到了现代，计算机的发展也伴随着对π值求法的翻天覆地的革命。在这些追求的过程中，诞生了一批千奇百怪的求π法。
比如蒲丰投针实验 等等。下面有两种实验性的方法，也颇让人赞叹不已！
第一种：任意写两个正整数，这两个数互质的概率为6/π²。所以你因此可 以做一个实验，叫班上的每一个人任意写出两个不相同的数，然后数这些数互质的个数，你就可以得到π的近似值。
第二种：任意写两个小于1的数（x，y），将他和1组成一个数对（x，y， 1），则由x、y和1能构成一个钝角三角形的概率为(π-2)/4。利用这个结论也可以求出π的近似值。
1995年4月，英国《自然》杂志刊登了伯明翰城阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的马修斯发表的一篇文章，他记述了他如何通过观察天空中亮星的分布计算圆周率，读来的确使人惊讶，但是原理却是如此滴简单。
马修斯做的，就是从我们熟悉的事物中探求数学中有趣的道理。马修斯如此试验基于的事实很简单，每一个接触过数论的人都知道：任意两个自然数互质的概率为6/（π2）。他从众多星星中选择100个亮星，将这些亮星两个两个分成一对，然后计算每对星之间的角距，得出一堆数据，然后检查这些数据的因子情况（总共近100万对因子），从中计算出π值约为3.1272，与π的数值3.1416的相对误差很小。 看来，马修斯的工作就是从星星中获得一堆随机数而已，然后借助数学定理计算圆周率。
受此启发，你也完全可以借助生活中熟悉的事物去获得一堆自然数，同样可以计算圆周率，不过数据量就一定很大，因为这是一个概率问题，数据量越大就越精确。
将数学性质放置于生活中，才是数学的魅力所在。 网摘 供参考。
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